为什么世界各地的几何学生都准备“标准”三角

《雅典学院》是意大利文艺复兴时期画家拉斐尔·桑西于1510-1511年创作的壁画。此画现收藏于意大利梵蒂冈博物馆。这幅画取材于柏拉图创建雅典学院的历史事件。图中描绘了57位学者、名人，分为11组。图片中央是柏拉图和亚里士多德。柏拉图的双手指向天空，象征思想世界；亚里士多德的双手指向大地，象征着经验的世界。其他人物还有苏格拉底、毕达哥拉斯、欧几里得、托勒密等。本书的主要叙述线索是人类文明中科学技术的发展，几乎依次展示了古希腊、中世纪欧洲、地理的发现、文艺复兴、科学革命、启蒙运动、科学革命工业乃至当代中国的演变。画作涵盖神话、史诗、历史、考古、哲学、生命、体育、生命、疾病、身体、宗教、商业与资本、战争与和平、阴谋与爱情、罪孽与圣洁、时间与永恒、望远镜与蒸汽机等在《格志丹青》上一本书发布会上，《格志丹青》作者、自然历史探究科学原所长刘璞、清华大学科学史系主任、国家科学院院士吴国胜清华大学科学馆、中国科学院自然科学史研究所研究员、华东师范大学紫江主席哲然参与了本书的分享和讨论，他们对科学题材艺术品的历史价值、科学作品中图像的作用的叙述以及科学与艺术的相互影响发表了自己的看法。《格志丹青》。文章中使用的插图均来自该书。经出版商许可出版。 《绚丽绘画：艺术作品中的科学与文化》作者：刘盾版本：湖南科学技术出版社2025年10月还有亚里士多德和柏拉图，一个拿着《蒂迈欧篇》，一个拿着《伦理学》，还有一群哲学家围绕着他们。而占星家和几何学家用六分仪描绘出的各种图案更是美得难以形容。 …… 还有一个人蹲在地上，手里拿着圆规，在木板上画着什么。 ——瓦萨里《意大利艺术园名人传》 柏拉图如何用几何学来呈现他对宇宙结构的描绘？ 《雅典学院》的场景设置在一座宏伟建筑的几个拱门之间，就像圣彼得大教堂的侧翼；然而，大教堂尚未建成，拉斐尔可能参考了布拉曼特的设计。上第二个拱门的一侧是光与艺术之神阿波罗和智慧女神雅典娜的大理石雕像。群像的中心人物是柏拉图和亚里士多德，前者的原型是拉斐尔崇拜的高级大师达芬奇（1452-1519）。梵蒂冈宫教皇签名室北墙和东墙的壁画。公元前387年左右，柏拉图从非洲和意大利半岛游学归来，在雅典西北部的学术学院创办了学院，成为早期西方最著名的高等学府。后来的研究院、科学院等学术机构均以此地命名。据说，学院门口立着一块牌子，上面写着“不懂几何的人不得入内”的格言，足见几何学（古希腊及后世长期被定义为数学）在柏拉图及其追随者心目中的地位。韦斯。画中，柏拉图右手指向天空，左手拿着一本书。从书脊可以看出，这就是他著名的对话《蒂迈欧篇》。书中用一个名叫蒂迈厄斯的人提出了“造物主”的概念，讲述了造物主利用几何学“创造万物和宇宙的基础”的故事。两个特殊的直角三角形是构建完美几何形状的基础。蒂迈欧斯在书中说：“首先，大家都会同意水、火、土、空气都是固体。所有固体都有厚度，并且被许多面包围。被直线包围的面是由三角形组成的；所有三角形都可以分为两种直角三角形。” “总而言之，它们是：一个是等腰；另一个是其长边的平方乘以短边的平方的四倍。”蒂迈欧斯说，4个等腰三角形可以组成一个正方形，正方形的6个面可以组成一个正六边形面体，即立方体； 2个二阶直角三角形可以组成一个等边三角形，4个、8个、20个等边三角形分别可以组成一个正四面体、一个正八面体、一个正二十面体。刚刚进入中学的孩子就能有这样的体验。数学老师说他们不应该再用小学生的研究生带头人了。每个人都应该准备一组三角形：不管是什么材料，其中一个是两个锐角为45°的等索直角三角形，另一个是一个锐角为30°和60°的直角三角形。任何文具店都有卖。至于为什么，老师没有告诉我，也没有人问过。到目前为止，似乎还没有人给出令人信服的理由。当然，可以做出很多解释，比如能够轻松画垂直线和平行线，画直角和一些特殊角，有助于记忆特殊角的三角函数等等，但仔细研究后，没有一个是令人满意的。与制造商和画家不同，古希腊人在绘画中只允许使用没有末端的尺子和圆规。对他们来说，绘制尺子和圆规是一种意识形态练习，非常符合欧几里得公理体系（约公元前 325 年 - 公元前 265 年）。为什么全世界的几何学生都需要这样一个看起来如此反欧几里得的“标准装备”？读完柏拉图的《蒂迈欧篇》，这个问题就可以得到解答。事实证明，这两个特殊的直角三角形是柏拉图宇宙结构图景的基础，也是他思想的源泉。它可以追溯到毕达哥拉斯（约公元前570年-约公元前495年），他认为“一切都是数”。由于《蒂迈欧篇》是柏拉图解释宇宙论的代表作，因此书中提到的两个特殊的直角三角形被赋予了不同的意义。现在我们把“标准”三角形留给中学生，看看Plat如何o 使用几何学来展示他对宇宙结构的描绘。据说他或他的学校知道只有五个（凸）正多面体并给出了证明。这是欧几里得“元素”最后一个命题（第13卷命题18）的推论。这一事实导致一些人“主张这样一种观点，即希腊人建立并在欧几里得几何原理中经典化的几何约简系统的主要目的是形成五个正多面体”。杨振宁对此进一步评论道：“希腊人发现了五个正多面体，它是高度对称的。这导致一些权威人士认为欧几里得几何要素”不可能是正确的，我们知道，我们知道，因为它们的发现，希腊人甚至把这所大学结构的主要元素与这五个这五个部分联系起来，这五个部分在这些主要部分中，在这所大学的主要部分中，在这些主要大学中的这些主要部分中。ses 在他们的主要部分。更直白地说，如果这个论点成立的话，可以说欧几里得纳入“元素”的最终目的是为柏拉图的宇宙图景提供坚实的数学基础。 《雅典学院》（局部）。投射世界的生成和变化的形象可以说是《TOMAEUS》中最精彩的内容。书中提到，构成世界的四种主要元素对应着四种正多面体：火对应四面体，土对应正六面体，空气对应正八面体，水对应正二十面体；这些元素或固体被赋予了各种物理属性，例如火（类似于正四面体）。 ）对应小、轻、热、锐，水（二十面体）对应大、圆、软、流动，土（六面体）对应重、坚、冷、硬，气（智慧）h八面体）位于火和水之间，解释了地球上万物的生成和变化。书中还提到“有第五种立体，创造者将其用作整体的模型”，但没有提及这种立体的形状。考虑到柏拉图学派知道正多面体只有五个，所以一般认为这里的“第五”是指有12个正五边形面的正十二面体。兰博的《蒂迈欧篇》英译本对此评论道：“众神在这里如何‘使用’它并不清楚：它可能指的是黄道十二宫。”如果这个预测正确，那么第五立体就对应于天体元素，因为古希腊人常用黄道十二宫来代表浩瀚的天空，这一传统可以追溯到古巴比伦。柏拉图没有命名第五种立体，也没有指定相应的元素。亚里士多德继承了柏拉图的几何元素理论，并明确教导说，地球是水、空气和火是陆地元素。由于它们各自的属性，它们占据着不同的自然位置，遵循直线，并且不断变化。它们覆盖并构成了人们所看到的世界；此外，还有另一种天体元素，构成了天体和星空。这种元素是不朽的，失重的，不受冷、热、干或湿的变化的影响，并且以圆周方式移动。亚里士多德称之为以太。亚里士多德给世界上的元素赋予了四种相反的性质，即冷与热、干与湿，认为它们体现了世界的起源。不同的元素由这些属性以不同的比例组成：火是热的且干燥的，空气是热的且有湿气的，水是冷的且潮湿的，土是冷的且干燥的。因此，元素可以相互改变。例如，当水被加热时，里面的寒气被热量代替，变成了气；当水倒入火中时，就会变干s被湿代替，成为气。后来，经过学者们的多次评论和解释，五种元素对应的五个正多面体，以及宇宙的构成和变化的思想，成为古希腊时期自然哲学和宇宙学的重要理论模型。五个正多面体及其对应的五个元素。长期以来，柏拉图和亚里士多德详细描述的宇宙创造和演化图景主导了西方数学科学的发展。一幅广为流传的宇宙结构图来自德国学者阿皮安努斯（Sch.olar Appianus，1495-1552）的《宇宙图记》（Cosmographia）（1524）。当时，哥白尼的《论天球运行》（1543年）尚未出版。这张图所示的宇宙模型是基于亚里士多德-托勒密地心说，在这里也可以看到《蒂迈欧》的影响。几件画面中央可见土地，上面隐约可见树木、村庄等景物，代表土元素，土的主要元素。地球周围是海洋，对应水大，最外一圈云彩对应气大，最外一圈对应火大。今天的人类世界，从下到上由地、水、风、火四种元素组成；火中的同心圆分别是月亮、水星、金星、火星、木星、土星和星圈。月球之上的世界，是纯净永恒的星空，由以太元素构成。开普勒（1571-1630）构想的著名宇宙学模型发表在《宇宙之谜》（1596）一书中：他抛弃了地心说，认为地球和五颗行星的轨道位于六个大小不同的球体中。 D源自《阿皮亚努斯之书》（左）和《开普勒之书》。亚里士多德是古代世界的百科全书式学者。亚里士多德的父亲是马其顿国王的医生。他从小就受到了良好的教育。 18岁时，他被送到雅典跟随柏拉图学习。他在柏拉图众多弟子中表现出色，被称为“学院精神”。但他并不盲从权威，经常与老师发生争执。著名的名言“我爱我的老师，mas mahal the Truth”出自亚里士多德之口。针对柏拉图的“完美论”，他提出了“存在即纯粹存在”的“实体论”。拉斐尔画作中两位大师的手形就表明了这一点。亚里士多德秉持着尼各马可伦理学，向大地做了手势，代表着他对真实存在的关心。英国哲学家罗素说：“无论思辨伦理学在哪里，背后都有柏拉图和亚里士多德的影子在等待。” PL阿托于公元前347年去世，亚里士多德也在37岁时离开了学院。公元前342年，亚里士多德回到家乡色雷斯，很快成为马其顿王子的老师，也就是后来的亚历山大大帝。跟随他学习的贵族子弟中有托勒密一世（约公元前367年-公元前282年），后来成为托勒密王朝的创始人。亚历山大征战的成果极大地促进了地中海地区与亚非大陆的文明交流，揭开了希腊化时期科学繁荣的新篇章。其将领在埃及建立的托勒密王朝延续了古典希腊文明的香火，其首都亚历山大（遗址位于今埃及首都开罗西北的地中海南岸）成为继雅典之后西方最重要的科学文化中心。法国查尔斯·拉普兰特 (Charles Laplante) 雕刻插图，亚里士多德教导年轻的阿尔埃克桑德（1866）。关于托勒密一世和欧几里得有一个传说。据说托勒密想知道学习几何是否有捷径。欧几里得回答说：“陛下，国王没有办法几何。”年轻时，继承了雅。受亚里士多德教导的托勒密一世一定明白这个答案的深层含义：欧几里得几何是基于公理体系的演绎结果。不透彻地了解它的基础，就无法体会到它的伟大和伟大。两千多年后，一位中国皇帝在研究几何时也有类似的想法，但结果却截然不同。从1689年底开始，康熙皇帝（1654-1722）开始向法国传教士学习几何。后者以欧几里得的《几何原理》为教材。只听了几堂课，康熙就拦住了他们，让他们在最短的时间内教给他们最实用、最新鲜的几何学。传教士们明白了想法并移至法国耶稣会数学家编写的《实践与理论几何》作为教科书。就这样，明末传入中国的欧几里得的《几何原理》（前六卷）逐渐被巴蒂（1636-1673）系统的《几何原理》所取代；后者与欧几里得最大的区别在于，它忽略或大大简化了公理系统的作用，而增加了三维求积、绘图、测量等实用内容。然而，完整的欧几里得中文译本直到1865年才在中国出现。公元前336年，亚历山大继位马其顿王位后，亚里士多德在该城东郊一个叫学园的地方建立了自己的学院。他们被称为“利伯特哲学家”或“逍遥学派”。亚里士多德没有回到柏拉图创立的学园，另立了学派。首先，他与学院院长的想法不同。二、作为现状雅典的马其顿和整个希腊世界不断壮大，越来越多的年轻人前来向他学习，这座城市已经无法容纳像他这样开设新修道院的外国人了。亚里士多德是古代世界的百科全书式学者，对当时几乎每个知识领域（或学科）都做出了贡献。他的著作涵盖了伦理学、心理学、经济学、美学、法学、神学、形而上学等。他似乎并不专攻数学，甚至还对弟子们在数学抽象性方面的过度行为感到愤恨；但他对数学的发展做出了一个非常重要的贡献，那就是逻辑理论的建构。柏拉图等人虽然讨论了面前的逻辑问​​题，但都是零散的讨论。亚里士多德建立了系统的形式逻辑理论体系。从他的一生到中世纪的拉丁和伊斯兰世界，再到比尔之后的17和18世纪现代科学的发展历程中，亚里士多德的形式逻辑一直是演绎推理的基础。 19世纪中叶，数理逻辑发展后，人们对数学与逻辑的关系有了更深入的认识。亚里士多德与柏拉图最大的区别在于，后者认为数学属于观念世界，高于、先于逻辑；而亚里士多德则坚持数学的抽象概念源自物理对象的属性，逻辑不仅独立且先于数学，而且可以应用于一切推理。亚里士多德关于逻辑的六部著作，即范畴、解释、前分析、后分析、主题和论证，在公元1世纪被合并和组合，统称为文书。除了经典三段论和矛盾证明的精确表达之外，亚里士多德的逻辑学与数学密切相关。包括以下几个方面：①必须以具有明确意义的存在来表达明确的意义； ② 指出需要证明所指定的事物是否存在； ③区分公理和公设，强调越少越好，只要足以证明所有结果即可（类似于现代公理体系的独立性和完备性）； ④通过点和线的关系讨论连续性问题，认为算术先于几何； ⑤区分潜在无穷大和实际无穷大； ⑥ 解释矛盾律和中间不相容律在数学证明中的重要性。欧几里得的生平无人知晓。可以肯定的是，他于公元前 300 年左右居住在亚历山大。他的元素结合了他的前辈的许多成就，例如泰阿泰德（约公元前 417 年 - 约公元前 369 年）、欧多克索斯（公元前 408 年 - 公元前 355 年）和柏拉图学院的其他人的著作。然而，“元素”的伟大”不在于记录的几何定理和推论的数量，而在于将这些复杂的内容排列在一个逻辑严密的公理体系中。在亚里士多德完善逻辑体系后不到半个世纪，“要素”就出现了。毫无疑问，欧几里得的著作受到了亚里士多德的影响。原作者/刘盾编/何野编/王明博/刘军校对